Implication (함축)

Implication

If p and q are proposition, then p->q is a conditional statement or implication

 - 만약 p와 q가 명제라면, p->q는 조건문이거나 함축이다.

read as "if p, then q"

 - "만약 p이면 q이다" 라고 읽는다

p is the hypothesis (antecedent or premise)

 - p는 가설[추측](선행사 혹은 전제)

q is the conclusion (or consequence)

 - q는 결론(혹은 결과)

ex)

- If p denotes "I am at home". and q denotes "It is raining."

   만약 p가 "나는 집에있다" 그리고 q가 "비가 온다"를 나타낸다면,

- then p->q denotes "If I am at home then it is raining."

  p->q는 "만약 내가 집에 있다면 비가 오는 것이다"를 나타내는 것이다.

One way to view the logical conditional is to think of an obligation or contract.

 - 이 논리조건을 이해하는 한가지 방법은 의무나 계약에 관해 생각해보는 것이다.

 * "If I  am elected, then I will lower taxes."

  - 저를 뽑아주신다면, 세금을 낮추겠습니다.

 * "If you get 100% on the final, then you will get an A."

  - 만약 너가 기말고사에서 100점을 맞는다면, 너는 A를 받을 것이다.

If the politician is elected and does not lower taxes, then the voters can say that he or she has broken the campaign pledge.

 - 만약 그 정치인이 당선됐는데 세금을 낮추지 않는다면 투표자들은 그 혹은 그녀가 선거 공약을 지키지 않았다고 말할 수 있다.

This corresponds to the case where p is true and q is false

 - 이 상황에 해당하는 것은 p는 진실이지만 q는 거짓인 상황이다. (그러므로 이 함축문은 거짓이 된다)

* 하지만 p가 거짓이라면 (당선되지 않는다면) q가 진실이든 거짓이든 (세금이 인하되든 아니든) 정치인은 거짓말을 한 거라고 말할 수 없기 때문에 이 두 상황은 True가 된다.

Different Ways of Expressing p->q 

* if p, then q         * p implies q

* if p,q                  * p only if q

* q unless ~p        * q when p

* q if p                  * p is sufficient for q

* q whenever p    * q is necessary for p

* q follows from p

a necessary condition for p is q

 - q는 p의 필요조건이다.

a sufficient condition for q is p

 - p는 q의 충분조건이다.

Converse, Contrapositive and Inverse 

 - 역, 대우, 이

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An extract from 'Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H. Rosen 7th ed.'